Área do cilindro

A área do cilindro se refere à medida da área superficial total desse sólido geométrico, expressa pela soma da sua área lateral com a área de suas bases.

Representação de um cilindro em fundo azul; à direita, fórmula do cálculo de sua área.
Para calcular a área total do cilindro, é preciso calcular a área de sua base e sua área lateral.

A área do cilindro é a medida da área superficial total desse sólido geométrico. Um cilindro é um corpo redondo composto por duas bases circulares congruentes e paralelas e pela reunião de todos os segmentos de reta cujas extremidades estão em cada um desses círculos.

Para poder calcular a área desse sólido é necessário conhecer a medida de sua altura e do raio de sua base. No caso do cilindro reto, é possível determinar por meio de uma fórmula a sua área total, que consiste na soma da sua área lateral (cuja planificação é um retângulo) com a área de suas duas bases (cujos formatos são círculos).

Leia também: Fórmulas do cálculo de área das principais figuras planas

Tópicos deste artigo

Resumo sobre a área de um cilindro

  • O cilindro é um corpo redondo formado por duas bases circulares paralelas e segmentos de reta com extremidades nesses círculos.

  • A área do cilindro (ou área total) é a soma da área de suas duas bases com sua área lateral.

  • A área da base do cilindro de raio r é dada por: \(A_b=πr^2\).

  • A área lateral do cilindro de raio r e altura h  é dada por: \(A_l=2πr⋅h\).

  • A área do cilindro e raio r e altura h é dada por: \(A_t=2πr⋅(r+h)\).

Videoaula sobre a área de um cilindro

O que é cilindro?

O cilindro é um sólido geométrico pertencente à classe dos corpos redondos. É composto de duas bases circulares congruentes presentes em dois planos paralelos distintos e é formado pela reunião de todos os segmentos de reta cujas extremidades estão em cada um desses dois círculos, paralelos ao segmento que une os centros deles.

 Exemplo de cilindro e seus principais elementos.
 Exemplo de cilindro e seus principais elementos.

Entre seus principais elementos, podemos destacar o raio r  dos círculos que formam suas bases e a altura h, que indica a distância dos dois planos das bases.

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Como calcular a área do cilindro?

A área de um cilindro (ou área total de um cilindro) é a soma da área lateral desse sólido e da área das duas bases circulares que o formam.

Quando o cilindro é reto, ou seja, no caso de o segmento que une os centros dos dois círculos ser perpendicular a eles, é possível estabelecer uma fórmula que determina o valor da área desse cilindro.

Para isso, pode-se observar a planificação desse sólido e como é calculada a área separada de cada figura plana que a compõe.

Exemplo de um cilindro reto e sua planificação.
Exemplo de um cilindro reto e sua planificação.

Veja a seguir como calcular cada uma das áreas superficiais do cilindro.

  • Área da base do cilindro

As bases do cilindro são círculos congruentes, ou seja, dois círculos que possuem o mesmo raio. Assim, para calcular a área da base de um cilindro é preciso saber calcular a área de um círculo.

Alt: Representação de um círculo, figura que forma a base de um cilindro.
As bases de um cilindro são círculos de raio r.

Sabendo a fórmula da área de um círculo, pode-se descrever a área da base do cilindro da seguinte forma:

Área da base do cilindro = Área do círculo = \(π⋅r2\)

Exemplo: Encontre a área da base de um cilindro cujo raio mede 3 cm.

Como visto, a área da base de um cilindro é relacionada à área de um círculo de raio r. Assim,

Área da base = Área do círculo

\(A_b =π⋅(3)^2=9π\ cm^2\)

  • Área lateral do cilindro

A superfície lateral de um cilindro é formada pelas geratrizes dele, ou seja, pelos segmentos de reta cujas extremidades correspondentes encontram-se sobre as circunferências das bases.

No caso de um cilindro reto, a planificação desse sólido mostra que sua superfície lateral pode ser expressa por uma região retangular cujo comprimento é o mesmo comprimento das circunferências das bases e a largura é a altura do cilindro.

 Planificação da superfície lateral de um cilindro reto de altura h  e bases circulares de raio r.
 Planificação da superfície lateral de um cilindro reto de altura h  e bases circulares de raio r.

A partir da fórmula da área de um retângulo, pode-se representar a área lateral do cilindro reto da seguinte forma:

Área lateral do cilindro = Área de um retângulo

Al = (base)  (altura)

\(A_l =(2⋅π⋅r)⋅h\)

Exemplo: Calcule a área lateral de um cilindro cujo raio mede 3 cm e a altura mede 5 cm.

Utilizando a fórmula para a área lateral e substituindo os valores dados do raio e da altura, tem-se

Área lateral = \((2⋅π⋅r)⋅h\)

\(A_l =(2⋅π⋅3)⋅5=30π\ cm^2\)

  • Área total do cilindro

A área total de um cilindro é a soma da área de suas duas bases com sua área lateral.

Área total do cilindro = 2 Área da base + Área lateral

Exemplo: Determine a área total de um cilindro cujo raio mede 3 cm e a altura mede 5 cm.

A área da base e a área lateral de um cilindro com essas medidas já foi calculada anteriormente. Assim, a área total desse cilindro é dada por:

Área total do cilindro = 2  Área da base + Área lateral

\(A_t =2⋅ 9π\ cm^2+30π\ cm^2\)

\(A_t =48π\ cm^2\)

Outros exemplos de cálculo da área do cilindro

Nos tópicos anteriores foi explorada a fórmula das áreas de um cilindro de forma individual e percebeu-se que para calcular a área total é necessário ter as medidas da altura do cilindro reto e o raio do círculo da base.

Assim, para calcular a área de um cilindro (ou área total), utiliza-se a fórmula:

Área do cilindro = \(2⋅π⋅r^2+2⋅π⋅r⋅h\)

ou ainda

Área do cilindro = \(2⋅π⋅r⋅(r+h)\)

Exemplo 1: Qual a área de um cilindro cuja altura mede 3,5 metros e o raio do círculo da base mede 1,5 metros?

Utilizando a fórmula da área do cilindro e substituindo os dados fornecidos da altura e do raio, tem-se que

Área do cilindro = \(2⋅π⋅r⋅(r+h)\)

\(A = 2⋅π⋅1,5⋅(1,5+3,5)\)

\(A = 3π⋅(5)=15π\ m^2\)

Exemplo 2: Qual a altura de um cilindro cuja área total mede 48π cm2 e o raio do círculo da base mede 4 cm?

Neste exemplo, dada a área total e o raio da base, é necessário descobrir o valor da altura do cilindro. Utilizando a fórmula da área do cilindro:

Área do cilindro = \(2⋅π⋅r⋅(r+h)\)

\(48π=2⋅π⋅4⋅(4+h)\)

\(\frac{48π}{8π}=4+h\)

\(h=6-4=2\ cm\)

Portanto, a altura desse cilindro é de 2 cm.

Leia também: Como se calcula a área de um prisma?

Exercícios resolvidos sobre área do cilindro

Questão 1

(Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Representação de um canudo de diploma

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma?

a) πd

b) 2πd

c) 4πd

d) 5πd

e) 10πd

Resolução

A questão exige que saibamos qual é o comprimento da folha de papel que será enrolada por completo no cilindro 5 vezes. Sabemos que o comprimento da circunferência é de \(2⋅π⋅r\), e, portanto, multiplicando esse valor por 5 determina-se o comprimento da folha de papel:

\(5⋅(2⋅π⋅r) = 10πr\)

Além disso, sabe-se que o raio r de uma circunferência é exatamente a metade da medida do seu diâmetro d, ou seja, \(r=\frac{d}2\). Logo,

Comprimento da folha = \(10πr=10π⋅(\frac{d}2)=5πd\)

A alternativa correta é a alternativa d.

Questão 2

(CEV-Urca 2021) Em um cilindro circular reto de altura 1 m, sabe-se que a razão entre a área lateral e a área total é 13. Qual o valor do raio da base?

a) 1 m

b) 2 m

c) 3 m

d) 4 m

e) 5 m

Resolução

Para resolver esta questão, deve-se calcular a razão entre a área lateral e a área total de um cilindro e igualar o resultado a um terço:

\(\frac{Área\ lateral}{Área\ total}=\frac{1}3\)

\(\frac{2πr⋅h}{2πr⋅(r+h)}=\frac{1}3\)

\(\frac{h}{r+h}=\frac{1}3\)

\(3h=r+h\)

\(r=2h\)

Assim, como o problema fornece o dado de que a altura mede 1 m, então o raio do cilindro mede \(2⋅1=2\ m\).

A alternativa correta é a alternativa b.

Fontes

ALMEIDA, Célio Pinto de. Geometria espacial. 1. ed. Rio de Janeiro: G. Ermakoff, 2018.

DOLCE, Osvaldo; NICOLAU, José. Fundamentos de matemática elementar 10 – Geometria espacial. 5. ed. Santos: Atual, 1993.

Por: Lenon Ávila

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