Fração Geratriz

Todo número racional pode ser escrito na forma de fração. Para escrever dízimas periódicas dessa forma, deve-se procurar sua fração geratriz.

Números racionais representados por frações
Números racionais representados por frações
Por Luiz Paulo Moreira Silva
PUBLICIDADE

Os números, como nós os conhecemos, podem ser divididos em conjuntos numéricos. Esses conjuntos foram criados para agrupar os números de acordo com o tempo cronológico em que passaram a ser usados. Alguns conjuntos numéricos são:

1- Números Naturais (N): Todos os números inteiros positivos e o zero. Em outras palavras: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.

2- Números Inteiros (Z): Todos os números inteiros, positivos ou negativos, e o zero. Em outras palavras: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

3- Números Racionais (Q): Todos os números que podem ser escritos na forma de fração onde numerador e denominador sejam números inteiros. Isto é, A é um número racional se A = b com b e c sendo números inteiros.                      c

Esse último conjunto, dos números racionais, contempla:

i- Todos os números inteiros;

ii- Todos os números decimais finitos, também conhecidos como decimais exatos e

iii- Dízimas periódicas, que são decimais infinitos onde sua parte decimal se repete em ciclos.

Exemplo: 3,33333333…

A questão é que todos esses podem ser escritos em forma de fração, inclusive as dízimas periódicas. Essa dízima periódica do exemplo é o resultado da divisão de 10 por 3:

10 |3      
-9 
3,3…
10       
-9       
10    

Mas o caminho inverso, de transformar uma dízima periódica em fração, nem sempre é tão óbvio. Segue, portanto, uma técnica para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. Lembrando que Fração Geratriz é a fração que gera uma dízima periódica.

Para encontrar a fração geratriz da dízima periódica 3,333… igualaremos ela a x e faremos o seguinte:

I - x = 3,3333…

10 · x = 10 · 3,3333...

II - 10x = 33,3333…

Agora, basta subtrair a equação I da equação II:

10x – x = 33,333… - 3,33333…

9x = 30

x = 30
      9

x = 10
      3

O número 10 foi escolhido para essa multiplicação, pois a parte decimal dessa dízima periódica possui um único algarismo se repetindo. Em outras palavras, essa dízima periódica é de período 3. Observe o que aconteceria ao buscar a fração geratriz de 1,32323232…

O período dessa dízima é 32. Como são 2 algarismos se repetindo, multiplicaremos a equação seguinte por 100:

I - x = 1,323232…

100 · x = 100 · 1,323232…

II - 100x = 132,323232…

Subtraindo I de II:

100x – x = 132,323232… - 1,32323232…

99x = 131

x = 131
      99

Essa é a fração geratriz de 1,3232…

Portanto, o número utilizado para multiplicar a dízima periódica, a fim de encontrar sua fração geratriz, será uma potência de 10 com expoente igual ao número de algarismos do período da dízima periódica.

Repare que o período de 3,33… possui um único algarismo, ou seja, 101 = 10, que foi o número multiplicado no primeiro exemplo.

O período de 1,3232… possui dois algarismos no período, ou seja, 102 = 100, que foi o número utilizado para multiplicação no segundo exemplo.


Por Luiz Paulo Moreira Silva
DESTAQUES
Confira os destaques abaixo

..................................................

O que é força?
Você sabia que a força é um tipo de grandeza? Revise!

..................................................

Savanas
Fique por dentro dos aspectos que marcam essa vegetação.

..................................................