Frações algébricas

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador.

As frações algébricas possuem pelo menos uma incógnita no denominador
As frações algébricas possuem pelo menos uma incógnita no denominador
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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Frações algébricas são expressões munidas de pelo menos uma incógnita no denominador. Tendo em vista que incógnitas representam números reais ainda desconhecidos, é possível afirmar que as frações algébricas também representam números reais. Dessa forma, todas as operações válidas para esse conjunto numérico também são válidas para as frações algébricas, a saber: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Quando essas operações envolvem frações algébricas, pode ser necessário apelar para outras propriedades matemáticas, como propriedades de potências, fatoração de polinômios, produtos notáveis etc.

Veja um exemplo de fração algébrica:

 4x3y2
3k2a

Simplificação de fração algébrica

A simplificação de frações algébricas faz uso de propriedades de potências e, algumas vezes, de fatoração de polinômios. A tentativa é de escrever a fração algébrica na forma mais fatorada possível e eliminar o excesso de incógnitas repetidas no numerador e denominador por meio da divisão de potências de mesma base. Observe o exemplo:

4a3(a2 + 2ab + b2)
16a2(a2 – b2)

Observe que os elementos presentes no numerador podem ser fatorados por dois procedimentos diferentes: o número 4 se transformará em 22 e o polinômio a2 + 2ab + b2, que é um trinômio quadrado perfeito, poderá ser reescrito na forma (a + b)2.

Já o denominador também pode ser fatorado ao rescrever 16 como 24 e a2 – b2, que é uma diferença de dois quadrados, como (a + b)(a – b). Substituindo essas formas fatoradas na fração algébrica dada, obteremos:

      22a3(a + b)2       
24a2(a + b)(a – b)

Agora, elimine aquilo que aparece repetido no numerador e no denominador. Para facilitar esse processo, as potências podem ser expandidas. Observe:

 2·2·a·a·a·(a + b)·(a + b) 
2·2·2·2·a·a·(a + b)(a – b)

Em azul, estão os fatores que se repetem e que serão eliminados. O resultado será o seguinte:

  a(a + b)  
2·2(a – b)

Essa é a forma simplificada da fração algébrica dada como exemplo.

Adição e subtração de fração algébrica

As duas operações são feitas da mesma maneira. Se os denominadores das frações algébricas forem iguais, basta somar/subtrair os numeradores e repetir os denominadores no resultado. Por exemplo:

4xy + 2xy = 4xy + 2xy = 6xy
k       k            k            k

Se os denominadores forem diferentes, teremos que: encontrar frações equivalentes àquelas que queremos somar/subtrair e depois somar/subtrair as frações equivalentes. O procedimento para isso pode ser resumido em alguns passos:

  • Calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores. Como os denominadores são polinômios, o procedimento para encontrar esse MMC pode ser obtido aqui. Antes de calcular o MMC dos denominadores, pode ser necessário fatorá-los. Os processos de fatoração mais importantes podem ser encontrados aqui;

  • Encontrar frações equivalentes àquelas que devem ser somadas/subtraídas;

  • Para isso, o processo é o mesmo usado nas frações numéricas: dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo respectivo numerador. Os valores obtidos serão os numeradores das frações equivalentes;

  • Somar/subtrair os numeradores exatamente como é feito para frações com denominadores iguais.

Para exemplos e mais detalhes a respeito da soma de frações numéricas, clique aqui. Para obter exemplos e mais detalhes sobre adição de frações algébricas, clique aqui.

Multiplicação de fração algébrica

A multiplicação de frações algébricas é exatamente igual à multiplicação de frações numéricas: multiplica-se numerador por numerador e denominador por denominador. A diferença é que, após a multiplicação, é importante analisar se o resultado obtido pode ser simplificado. Esse processo de simplificação é semelhante ao que discutimos no início do texto. Por exemplo:

5xy ·11xk = 5xy ·11xk = 55x2yk = 55
kx     yx        kx·yx         kx2y        

Divisão de fração algébrica

Também é feita de modo idêntico à divisão entre frações numéricas. Para tanto, multiplique a primeira fração pelo inverso da segunda. Para encontrar o inverso de uma fração, basta trocar numerador e denominador de lugar. Observe a divisão de frações no exemplo a seguir:

44x2yz : 11xyz = 44x2yz ·    kh   
   kh2        kh         kh2      11xyz

Após isso, basta realizar a multiplicação e simplificar o resultado:

44x2yz ·    kh    = 44x2yzkh = 4x
   kh2      11xyz    11xyzkh2     h


Por Luiz Paulo Moreira Silva
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