Subconjuntos dos números naturais

Os subconjuntos dos números naturais são conjuntos numéricos que reúnem elementos com alguma característica em comum, além de “ser inteiro não negativo”.

Números naturais reunidos em um subconjunto para mostrar as horas e os minutos
Números naturais reunidos em um subconjunto para mostrar as horas e os minutos
Por Luiz Paulo Moreira Silva
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Enquanto um conjunto é uma reunião de elementos que possuem características e propriedades em comum, um subconjunto é a reunião de alguns dos elementos de um conjunto. Dessa maneira, o conjunto dos números naturais reúne elementos com as seguintes características: são inteiros e positivos (ou não negativos, dependendo do autor).

Como consideramos o zero como um número natural, o conjunto dos números naturais, portanto, é:

N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Esse conjunto pode ser “dividido” em infinitos subconjuntos, já que possui infinitos elementos. Entretanto, alguns desses subconjuntos são notáveis pelas características e propriedades especiais de seus elementos.

Próprio conjunto dos números naturais

Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Assim, o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números naturais.

Conjunto vazio

Todo conjunto numérico possui o conjunto vazio como subconjunto. Esse conjunto é apenas a denominação de um subconjunto de números naturais que não possui nenhum elemento.

Conjunto dos números pares

O conjunto dos números naturais pares reúne os números não negativos múltiplos de dois. Assim sendo, ao conjunto dos números naturais pares (P) pertencem os seguintes elementos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …}

A forma geral desse subconjunto dos números naturais é a seguinte: (p) é um número par se:

p = 2·n

Nessa forma geral, (n) é um número natural. É possível, com essa forma, descobrir se um número é par. Por exemplo: 22 é um número par? Observe que, para ser par, 22 deve ser o resultado da multiplicação de algum número natural por dois:

22 = 2·n

Assim, se dividirmos 22 por dois e encontrarmos um número natural como resultado, significa que 22 é um número par; caso contrário, ele não é.

22:2 = 11

Conjunto dos números ímpares

O conjunto formado pelos números naturais ímpares (I) é o subconjunto dos naturais que contém todos os números que não são pares. Assim, esse conjunto é formado pelos seguintes elementos:

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Também existe uma forma geral para os números ímpares. Se (i) é um número ímpar, então:

i = 2·n + 1

Na forma acima, (n) é um número natural. Dessa maneira, quando é necessário descobrir se um número é ímpar, basta dividi-lo por dois. Se o resultado deixar resto o algarismo um, então, o número é ímpar.

Além disso, um número só pode ser ímpar ou par. A união do subconjunto dos números naturais formado por todos os números ímpares com o subconjunto dos naturais formado por todos os números pares resulta no conjunto dos números naturais. Já a intersecção entre esses dois subconjuntos não possui nenhum elemento.

Números primos

É o subconjunto dos números naturais formado por todos os números que só são divisíveis por um ou por si mesmos. Por exemplo: o número sete não é divisível por qualquer outro número natural além de um e sete, portanto, ele é um número primo. Já o número quatro pode ser dividido por um, quatro e dois, por isso, ele não é um número primo.

O conjunto dos números primos é infinito e contém os seguintes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

Não é possível construir uma lei de formação para os números primos. Observe também que dois é o único número primo par, pois todo número par, exceto dois, é divisível por outros números, além de um e si mesmo.

Números compostos

É o subconjunto dos naturais formado por todos os números naturais que não são números primos, ou seja, que são divisíveis por outros números que não um e si mesmo.

Em outras palavras, os números compostos podem ser decompostos em um produto de números primos, como 693 = 3·3·7·11.


Por Luiz Paulo Moreira Silva
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