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Adição e subtração de fração algébrica

A adição e a subtração de fração algébrica são possíveis porque essas frações são compostas apenas por números, sendo alguns conhecidos e outros não.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva Sinal que simboliza a adição

Sinal que simboliza a adição

Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. Incógnitas são números desconhecidos de uma expressão algébrica. Dessa maneira, essas expressões são formadas apenas por números – conhecidos ou desconhecidos – e por operações. Por essa razão, valem todas as operações matemáticas básicas para as frações algébricas e suas propriedades.

São exemplos de frações algébricas:

a)

1
x

b)

2x4y2
3kh

Adição e subtração de frações algébricas

A adição e a subtração de frações algébricas ocorrem da mesma maneira que a adição e subtração de frações numéricas.

1º caso: Denominadores iguais

Quando os denominadores de uma adição ou subtração de frações algébricas são iguais, conserve o denominador no resultado e realize a soma ou subtração apenas nos numeradores. Por exemplo:

28x + 15x = 28x + 15x = 43x
yx2     yx2         yx2         yx2

2º caso: Denominadores diferentes

Quando os denominadores das frações algébricas forem diferentes, a adição ou subtração seguirá os mesmos princípios da adição ou subtração de frações numéricas: primeiramente, faz-se o MMC dos denominadores; depois, encontram-se frações equivalentes com denominadores iguais ao MMC e, por fim, faz-se a soma/subtração. Veja o exemplo abaixo:

1 + x +    4x2   1 – x
1 – x      1 – x2    1 + x

Etapa 1: Calcule o mínimo múltiplo comum entre os denominadores.

Para isso, é necessário saber fatorar polinômios, especialmente pelos casos da diferença de dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e fator comum em evidência. No exemplo, a fração central apresenta um denominador que pode ser fatorado pela diferença de dois quadrados. Os outros dois não podem ser fatorados.

Dessa maneira, trocando o denominador da fração central por sua forma fatorada teremos:

1 + x +         4x2      1 – x
1 – x    (1 – x)(1 + x)    1 + x

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Assim, o mínimo múltiplo comum entre os denominadores será (1 – x)(1 + x). Para saber como realizar esse cálculo, clique aqui.

Etapa 2: Encontrar frações equivalentes.

Com o MMC em mãos, divida-o pelo denominador de cada fração do exemplo e multiplique o resultado pelo respectivo numerador. Isso gerará as frações equivalentes com denominadores iguais – o próprio MMC –, que devem ser somadas/subtraídas. No exemplo, os resultados serão:

1 + x +         4x2         1 – x =     (1 + x)2            4x2           (1 – x)2     
1 – x     (1 – x)(1 + x)    1 + x    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

Observe que, dividindo o MMC por 1 – x, que é o denominador da primeira fração, o resultado será 1 + x. Multiplicando isso por 1 + x, que é o numerador da primeira fração, teremos o numerador da respectiva fração equivalente. Repete-se o processo para todas as frações até obter o resultado acima.

Etapa 3: Somar/subtrair os numeradores.

Encontradas as frações equivalentes, basta somar ou subtrair os numeradores e simplificar o resultado. Observe:

     (1 + x)2     +        4x2        –     (1 – x)2     
(1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)    (1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x2 + 4x2 – (1 – 2x + x2)
(1 – x)(1 + x)

1 + 2x + x2 + 4x2 – 1 + 2x – x2
(1 – x)(1 + x)

     4x + 4x2    
(1 – x)(1 + x)

     4x(1 + x)    
(1 – x)(1 + x)

    4x    
(1 – x)

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