Binômio de Newton

O binômio de Newton foi desenvolvido pelo físico e matemático Isaac Newton, que fez grandes contribuições para o desenvolvimento das ciências. Chamamos de binômio de Newton o cálculo de um polinômio com dois termos elevado a um número natural qualquer.

Durante a resolução de problemas que envolvem polinômios, percebeu-se que existia uma regularidade quando se calculava a potência de um binômio. Foi então que Newton desenvolveu um método para encontrar a solução de um binômio elevado a um expoente natural. Para essa solução, recorre-se ao triângulo de Pascal. É possível também encontrar, com base na fórmula do termo geral de um binômio, coeficientes e termos de forma individual, sem necessariamente calcular-se todo o binômio.

Leia também: Multiplicação de polinômios – como resolver?

O binômio de Newton é um método muito útil para solucionar-se um binômio elevado a um expoente natural.
O binômio de Newton é um método muito útil para solucionar-se um binômio elevado a um expoente natural.

Tópicos deste artigo

Fórmula do binômio de Newton

Na matemática, um polinômio com dois termos é conhecido também como binômio. Em problemas da astronomia, entre outras aplicações, nas disciplinas de física, química e na própria matemática, é bastante comum deparar-se com uma potência de um binômio. Acontece que, para calcular-se uma potência de um binômio elevado a um expoente natural, quanto maior for o expoente, mais difícil será encontrar a potência. O binômio de Newton, então, é uma construção que busca resolver as seguintes potências:

  • (a + b)0 = 1  → todo número elevado a zero é igual a 1.
  • (a + b)1= a + b → todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
  • (a + b)² = (a + b ) (a + b) = a² + 2ab + b²
  • (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a+b) (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Note que quanto maior for o expoente do binômio, mais difícil será a tarefa de calcular-se a potência. Acontece que Newton desenvolveu um método mais prático para encontrar os binômios, pela fórmula:

Exemplo:

Calcule (a + b)5

1º passo: vamos substituir na fórmula o valor de n = 5.

2º passo: vamos calcular os coeficientes que são combinações.

Nesse segundo passo, é necessário lembrar como se calcula uma combinação de dois números.

A fórmula para calcular-se a combinação é:

Então calcularemos cada umas das combinações:

3º passo: substituir as combinações pelos resultados encontrados:

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + 1b5

Veja também: Como calcular o MMC de polinômios?

Triângulo de Pascal

Na fórmula do binômio de Newton, se conhecermos o triângulo de Pascal, não será necessário realizarmos o cálculo das combinações. Para isso basta construir do triângulo de Pascal. Acontece que os coeficientes do binômio de Newton estão diretamente relacionados com as linhas do triângulo de Pascal. O triângulo é construído com base nas combinações, conforme a figura seguinte:

Começando sempre pela linha zero, podemos construir quantas linhas forem necessárias para encontrarmos as combinações que queremos. Acontece que, a fim de encontrar os resultados, existe um método prático para a construção do triângulo de Pascal, o que significa que teremos os resultados das combinações sem necessariamente utilizarmos a fórmula de combinação.

Para substituir as combinações por números no triângulo, vamos lembrar que a combinação de um número com zero é sempre 1 e que também a combinação de um número com ele mesmo é sempre 1, logo, a primeira coluna é sempre igual a 1 e o último termo da linha é sempre igual a 1 também.

1

1          1

1          x1           1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6           1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Aqui vamos construir até a linha 7, mas o método de construção para as demais linhas continua o mesmo.

Agora vamos encontrar os termos centrais, começando pelo x1. Para encontrarmos o falo de x1, faremos a soma do termo que está acima dele na mesma coluna com o termo que está acima dele na coluna anterior, assim:

1

1          1  

1          x1           1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6           1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Então temos que:

x1 = 1 + 1 = 2

1

1          1  

1          2             1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6           1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Usando o mesmo raciocínio, vamos encontrar x2 e x3.

1

1          1 

1          2            1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6           1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Então temos que:

x2 = 1 + 2 = 3

x3 = 2 + 1 = 3

Substituindo pelos valores encontrados na linha 3, usaremos o mesmo raciocínio para encontrar os termos da linha 3, x4, x5 e x6.

1

1          1 

1          2            1

1          3          3             1

1          x4           x5         x6           1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

 

x= 1 + 3 = 4

x= 3 + 3 = 6

x= 3 + 1 = 4

Realizando as substituições na linha 4, temos que:

1

1          1 

1          2            1

1          3          3             1

1          4             6          4             1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Repetindo o processo para as demais linhas, é possível completá-las:

linha 0: 1

linha 1: 1        1

linha 2: 1        2             1

linha 3: 1        3          3             1

linha 4: 1        4             6          4             1

linha 5: 1        5             10        10          5             1

linha 6: 1        6             15        20          15          6             1

Relacionando-os com o binômio de Newton, note que os valores encontrados para a linha 5 são os mesmos encontrados quando calculamos as combinações no exemplo (a + b)5.

Acesse também: Fatorial – multiplicação de números naturais consecutivos

Termo geral do binômio de Newton

A fórmula do termo geral permite que calculemos um termo do binômio de Newton sem a necessidade de desenvolvê-lo totalmente. É possível identificar qualquer um dos termos de um binômio pela fórmula:

a: primeiro termo

b: segundo termo

n: expoente

p + 1: termo procurado

Exemplo:

Encontre o 10º termo do binômio (x + 2)¹¹.

Dados:

n = 11

a = x

b = 2

p + 1 = 10  →  p = 9

Substituindo na fórmula, temos que:

Agora calculando a combinação:

Então temos que:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - O coeficiente de a5 no polinômio (a + 4)7 é:

A) 21 

B) 16

C) 336

D) 112

E) 121

Resolução

Alternativa C.

Queremos encontrar um termo em específico na resolução do binômio, então para isso precisamos saber o valor de p.

Sabemos que o primeiro termo nesse caso é o a, então n – p = 5. Como n = 7, então p = 2, e sabemos que b = 4. Substituindo esses dados na fórmula, temos que:

Questão 2 - Dado o binômio (x + y)6, a soma dos seus coeficientes é igual a:

A) 24

B) 32

C) 44

D) 52

E) 64

Resolução

Alternativa E.

Construindo o triângulo de Pascal, a sua sexta linha é igual a:

1          6             15        20          15          6             1

Então a soma 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64

Por: Raul Rodrigues de Oliveira

Artigos de Binômio de Newton

Binômio de Newton

Método prático para desenvolver expressões do tipo (a + b)n

Triângulo de Pascal

Entenda como construir o triângulo de Pascal e como utilizá-lo para encontrar coeficientes de binômios de Newton. Confira ainda exercícios resolvidos!