Cone

Cone é um sólido geométrico classificado como um corpo redondo, formado pela reunião de todos os segmentos de reta com extremidades em um círculo e em um vértice fora dele.

Ilustração de um cone, um sólido geométrico classificado como um corpo redondo.
O cone é um sólido geométrico classificado como um corpo redondo.

O cone é um sólido geométrico pertencente à classe dos corpos redondos, assim como a esfera e o cilindro. Ele é definido como a união de todos os segmentos de reta com extremidades em um círculo e em um ponto fora dele. Dentre seus elementos, é possível destacar a sua base (que é um círculo), sua altura (distância de seu vértice até sua base) e sua geratriz (distância entre seu vértice e um ponto da circunferência de sua base).

Como alguns outros sólidos geométricos, ele pode ser classificado como reto e oblíquo, além de ser possível determinar uma fórmula para calcular suas áreas superficiais e seu volume.

Leia também: Cilindro — outro sólido geométrico pertencente à classe dos corpos redondos

Tópicos deste artigo

Resumo sobre cone

  • O cone é um corpo redondo.
  • É definido pela união de segmentos com extremidades em um círculo e em um ponto exterior a ele.
  • Sua base é um círculo.
  • A geratriz, um de seus principais elementos, é a distância entre seu vértice e a circunferência de sua base.
  • Pode ser classificado em cone reto e oblíquo.
  • Um cone de revolução é obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
  • Um cone equilátero possui a mesma medida de geratriz e de diâmetro do círculo da base.
  • A área total do cone é dada por: \(A=\pi r\left(g+r\right).\)
  • O volume do cone é dado por: \(V=\frac{\pi r^2h}{3}\).
  • O tronco de cone é o sólido geométrico formado pela parte de baixo de um cone a partir da secção desse cone feita por um plano paralelo à sua base. Ele apresenta duas bases paralelas.
  • O volume do tronco de cone é dado por: \(\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right).\)

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O que é cone?

O cone é definido como a união de todos os segmentos de reta com extremidades em um círculo e em um ponto fora dele. Considere um círculo de centro O e raio de medida r. Além disso, considere um ponto V no espaço que não pertence ao círculo. Dizemos que um cone é a reunião de todos os segmentos de reta cujas extremidades são o vértice V e algum ponto do círculo.

Construção geométrica da definição de cone.
Construção geométrica da definição de cone.

Cones de trânsito, chapéus de aniversário, casquinhas de sorvete e muitos outros objetos possuem forma similar a um cone, assim, é possível entender a importância de seu estudo para nosso cotidiano.

Elementos do cone

Veja, a seguir, alguns dos principais elementos do cone:

Representação de alguns dos principais elementos de um cone.
Representação de alguns dos principais elementos de um cone.
  • Vértice (V): O vértice de um cone é o ponto fora do círculo da base que serve como extremidade dos segmentos que formam esse sólido.
  • Base: A base do cone é um círculo de centro O e raio de medida r.
  • Raio (r): O raio de um cone é a medida do raio do círculo da base.
  • Altura (h): A altura do cone é um segmento perpendicular ao plano que contém o círculo da base e representa a distância entre o vértice do cone e esse plano.
  • Geratriz (g): A geratriz é o segmento cujas extremidades são o vértice do cone e os pontos da circunferência de sua base.

Classificação do cone

Um cone pode ser classificado de acordo com o segmento VO, que une o vértice do cone com o centro do círculo da base.

→ Cone reto

Cone reto é o cone em que o segmento VO é perpendicular ao plano da base no qual o círculo está contido. Em outras palavras, se a altura do cone coincidir com a medida do segmento VO, esse cone é dito reto.

Cone reto, uma das classificações do cone.
No cone reto, o segmento VO é perpendicular ao plano da base do cone.

→ Cone oblíquo

Cone oblíquo é o cone que não é reto, ou seja, ele é classificado assim quando o segmento VO não for perpendicular ao plano da base no qual o círculo está contido.

Cone oblíquo, uma das classificações do cone.
No cone oblíquo, o segmento VO não é perpendicular ao plano da base do cone.

→ Cone de revolução

Cone de revolução é o cone reto obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém algum de seus catetos.

Cone de revolução, uma das classificações do cone.
Cone de revolução obtido pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

→ Cone equilátero

Há ainda uma última classificação de cones, sendo que ela não está relacionada ao segmento VO do cone, mas sim ao diâmetro do círculo de sua base e sua geratriz. O cone equilátero é o cone em que sua geratriz (g) e o diâmetro (d) do círculo da base possuem a mesma medida.

Cone equilátero, uma das classificações do cone.
No cone equilátero, o diâmetro do círculo e a geratriz possuem a mesma medida \(d=g\).

Fórmulas do cone

Da mesma forma que outros sólidos geométricos, o cone possui fórmulas que determinam a área da sua superfície, sua capacidade volumétrica e, ainda, no caso específico do cone, o volume de seu tronco. Veja essas fórmulas a seguir.

→ Fórmulas das áreas do cone

Para analisar a área da superfície total de um cone reto, é preciso analisar as figuras planas que compõem sua planificação. No caso de um cone reto, sua planificação é a seguinte:

Área total de um cone reto expressa pela sua planificação.
Área total de um cone reto expressa pela sua planificação.

◦ Fórmula da área lateral do cone

Para calcular a área lateral do cone, perceba que sua planificação mostra que ela corresponde a um setor circular de raio g e comprimento de arco igual a \(2\pi r\), em que r é o raio do círculo da base. Assim, a área do setor circular em função do comprimento do arco implica que a área lateral do cone é dada por:

Área lateral \(A_l=\pi rg\)

◦ Fórmula da área da base do cone

A área da base do cone é equivalente à área de um círculo de raio r, ou seja:

Área da base \(A_b=\pi r^2\)

◦ Fórmula da área superficial total do cone

A área superficial total do cone é dada por:

Área total \(A_l+A_b=\pi rg+\pi r^2=\pi r\left(g+r\right)\)

→ Fórmula do volume do cone

O volume de um cone é dado por um terço do produto da área da base dele pela sua altura, ou seja:

Volume V = \(V=\frac{1}{3}A_b\cdot h\)

Volume = \(\frac{\pi r^2h}{3}\)

É importante destacar que o volume do cone é o mesmo, não importando sua classificação. Assim, se um cone reto e um cone oblíquo, por exemplo, possuem a mesma altura e a mesma área da base, então a medida de seus volumes também será a mesma.

Tronco de cone

Considere um cone e um plano paralelo à sua base que o intersecta. Dizemos que a região de contato é uma secção do plano com o cone, e, nesse caso, essa intersecção é representada por um círculo. Com base nesse corte feito, é possível destacar a origem do sólido geométrico conhecido como tronco de cone, composto de duas bases, cujos formatos são círculos.

Secção entre um cone e um plano paralelo à sua base e seu respectivo tronco de cone.
Secção entre um cone e um plano paralelo à sua base (à sua esquerda) e seu respectivo tronco de cone (à sua direita).

É possível calcular o volume desse tronco de cone sabendo a medida dos raios de seus dois círculos e também a sua altura.

Assim, se h é a altura do tronco de cone, R é o raio do círculo da base maior e r é o raio do círculo da base menor, o volume do tronco de cone é dado por:

Volume do tronco de cone = \(\frac{\pi h}{3}\left(R^2+Rr+r^2\right)\)

Veja também: Como é formado o tronco de pirâmide?

Exercícios resolvidos sobre cone

Questão 1

Um cone reto possui uma geratriz de medida 5cm e o círculo de sua base possui um raio de medida 3cm. O volume desse cone é igual a:

A) \(4\pi cm^3\)
B) \(8\pi cm^3 \)
C) \(12\pi cm^3\)
D) \(16\pi cm^3\)

Resolução:

Alternativa C

Sabe-se que o cone é reto e, por conta disso, sua geratriz, o raio do círculo de sua base e sua altura relacionam-se, respectivamente, com a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo.

Assim, pelo teorema de Pitágoras, sabendo a medida de sua geratriz e do raio, é possível encontrar a medida de sua altura:

\(altura=4cm\)

Por fim, sabendo a altura do cone, é possível determinar seu volume:

\(Volume=\frac{\pi r^2h}{3}\)

\(Volume=\frac{\pi3^24}{3}\)

\(Volume=12\pi cm^3\)

Questão 2

(PUC) Um monte de areia tem a forma de um cone circular reto, com volume \(V=4\pi m^3\). Se o raio da base é igual a dois terços da altura desse cone, pode-se afirmar que a medida da altura do monte de areia, em metros, é:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Resolução:

Alternativa B

Pela fórmula do volume de um cone, sabemos que:

\(V=\frac{\pi r^2h}{3}\)

Agora, sabendo que \(V=4\pi \) e que \(r=\frac{2}{3}h\), podemos encontrar o valor da altura fazendo:

\(4\pi=\frac{\pi r^2h}{3}\)

\(12\pi=\pi\left(\frac{2}{3}h\right)^2\cdot h\)

\(12=\frac{4}{9}h^2\cdot h\)

\(h^3=27\rightarrow h=3m\)

Fontes

ALMEIDA, Célio Pinto de. Geometria espacial. 1. ed. Rio de Janeiro: G. Ermakoff, 2018.

DOLCE, Osvaldo; NICOLAU, José. Fundamentos de matemática elementar: Geometria espacial, v. 10. 5. ed. Santos: Atual, 1993.

Por: Lenon Ávila

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