A geometria analítica utiliza as relações algébricas para explicar e entender os conceitos de Euclides. Dessa forma, um ponto, uma reta, uma elipse, podem ter suas características estudadas através de princípios algébricos. Vamos realizar o estudo analítico da distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
Considere um ponto P(xo, yo) e uma reta s de equação s: ax + by + c = 0.
Existem várias distâncias entre o ponto P e a reta s, assim como existem vários caminhos até um destino. Mas para nós interessa somente a menor distância.
A distância entre P e t é dada pela fórmula:
Onde, a, b e c são os coeficientes da equação da reta s e xo e yo são as coordenadas do ponto P.
Exemplo 1. Calcule a distância entre o ponto P(0, 10) e a reta s: x – y + 1 = 0.
Solução: Da equação geral da reta s, obtemos: a = 1, b = – 1 e c = 1.
Segue que:
Exemplo 2. Determine a que distância está o ponto A(– 2, 3) da reta t: 4x + 3y – 2 = 0.
Solução: Da equação da reta t, obtemos: a = 4, b = 3 e c = – 2.
Segue que:
Exemplo 3. A distância do ponto P(1. Y) até a reta s: x + y = 0 é de √2/2. Determine o valor de y.
Solução: Da equação da reta s, obtemos: a = 1, b = 1 e c = 0.
Segue que:
Portanto, o ponto P pode ter coordenadas (1, 0) ou (1, – 2)
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