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Elipse

A elipse é encontrada através de um corte não paralelo à base de um cone. Por essa razão, ela pertence às cônicas.

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro As características da elipse e sua equação reduzida são aspectos estudados pela Geometria Analítica

As características da elipse e sua equação reduzida são aspectos estudados pela Geometria Analítica

O trabalho do matemático Apolônio de Perga influenciou significativamente a Geometria Analítica. As seções cônicas foram resultados do estudo realizado por esse matemático no século II a.C. Dentro das seções cônicas, Apolônio desenvolveu trabalhos sobre a elipse, a parábola e a hipérbole, todas elas resultados de cortes feitos em um cone.

A elipse pode ser obtida por um corte não paralelo à base de um cone, como podemos ver na figura a seguir:

A elipse é obtida por um corte que não seja paralelo à base de um cone
A elipse é obtida por um corte que não seja paralelo à base de um cone

Para a construção de uma elipse, podemos considerar dois pontos, F1 e F2, de modo que a distância entre eles seja um valor constante, 2c. Ao redor desses pontos, vamos marcar uma série de outros pontos de forma que a soma de suas distâncias seja sempre maior que 2c. A elipse é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfaçam essa propriedade. Na figura a seguir há uma demonstração da formação da elipse com os pontos A, B, C e D, que são apenas um dos pontos que a formam.

A elipse é o conjunto de todos os pontos cuja soma da distância é superior a 2c
A elipse é o conjunto de todos os pontos cuja soma da distância é superior a 2c

Os elementos principais da elipse são:

  • F1 e F2 são focos;

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  • O é o centro;

  • A1A2 formam o eixo maior;

  • B1B2 formam o eixo menor;

  • 2c é a distância focal;

  • 2a é a medida do eixo maior;

  • 2b é a medida do eixo menor;

  • c é a excentricidade.
    a

Os pontos destacados nessa elipse representam os elementos principais descritos anteriormente
Os pontos destacados nessa elipse representam os elementos principais descritos anteriormente

A partir dos elementos principais, podemos destacar que o triângulo formado pelos semieixos a e b e pela metade da distância focal c permite a aplicação do Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

Podemos ainda estabelecer uma equação reduzida através de um ponto P (x,y) presente na curva da elipse, como evidencia a imagem a seguir:

Através de um ponto P (x,y) em um local qualquer da curva da elipse, podemos descrever uma equação reduzida
Através de um ponto P (x,y) em um local qualquer da curva da elipse, podemos descrever uma equação reduzida

Se a elipse for igual à da imagem acima, em que eixo maior está localizado horizontalmente no plano cartesiano, a equação reduzida da elipse será:

+ = 1
a²    b²     

Mas se o eixo maior estiver verticalmente colocado sobre o plano cartesiano, a equação reduzida da elipse será:

+ = 1
a²    b²