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Equações trigonométricas

As equações trigonométricas são igualdades que apresentam, pelo menos, uma razão trigonométrica cuja incógnita seja um ângulo desconhecido, dado em radianos.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva As relações trigonométricas seno e cosseno podem auxiliar na resolução de equações trigonométricas

As relações trigonométricas seno e cosseno podem auxiliar na resolução de equações trigonométricas

Equações trigonométricas são igualdades que possuem, pelo menos, uma razão trigonométrica na qual a incógnita é um ângulo desconhecido. Geralmente, nas equações trigonométricas, esse ângulo é convertido para um arco correspondente, e sua medida é dada em radianos.

Assim, são exemplos de equações trigonométricas:

senx = ½

cosx = √3/2

1 – sen2x = 1 + sen2x

As equações trigonométricas podem ser reduzidas a uma das três equações a seguir:

senx = senα

cosx = cosα

tgx = tgα

Para que as equações trigonométricas sejam assim reduzidas, é necessário usar as relações fundamentais da Trigonometria. Essas três equações são chamadas equações fundamentais da Trigonometria ou apenas equações trigonométricas.

Fórmulas de solução das equações fundamentais

As equações fundamentais podem ser solucionadas por meio de fórmulas, que são obtidas fazendo uso do ciclo trigonométrico. Essas fórmulas são:

1) senx = senα:

senx = senα

x = α +2kπ ou x = π – α + 2kπ

2) cosx = cosα:

cosx = cosα

x = α +2kπ ou x = – α + 2kπ

x = ± α + 2kπ

A segunda parte dessa solução percorre o ciclo trigonométrico em seu sentido anti-horário. A solução em que ambas as partes percorrem o sentido horário e que também pode ser dada como solução da equação cosx = cosα é:

cosx = cosα

x = α +2kπ ou x = 2π – α + 2kπ

3) tgx = tgα

tgx = tgα

x = α +2kπ ou x = π + α + 2kπ

x = α + kπ

Exemplo

Determine o valor de x na equação senx = √3/2.

Observe que √3/2 = sen60°. Substituindo isso na fórmula de solução da equação senx, temos:

senx = sen60°

x = 60° +2kπ ou x = π – 60° + 2kπ

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Entretanto, 60° não pode ser usado como solução de uma equação trigonométrica, pois não está expresso em radiano. Sabendo que π radianos é equivalente à meia volta – conhecimento adquirido a partir do ciclo trigonométrico – e que meia volta é equivalente a 180°, basta fazer a regra de três para descobrir a medida de 60° em radianos.

180° = π
 60°     x
 

180x = 60π

x = 60π
     180

x = π
      3

Então, a solução da equação é:

x = π +2kπ ou x = π – π/3 + 2kπ

x = π +2kπ ou x = 2π/3 + 2kπ

Informações importantes

Em qualquer das soluções das equações trigonométricas, ocorre a existência da parcela 2kπ. Essa parcela representa a quantidade de voltas que é dada no ciclo trigonométrico a fim de encontrar a solução das equações trigonométricas fundamentais.

Na solução da equação seno, suponha que essa equação seja definida apenas para a primeira volta, ou seja, apenas no intervalo que vai de 0°a 360°, ou de 0 a 2π. A solução dessa equação será:

senx = senα

x = α ou x = π – α

Considere agora que a mesma equação é válida também na segunda volta, ou seja, no intervalo que vai de 0 a 4π. Assim, a solução dessa equação será:

senx = senα

x = α +2π ou x = π – α + 2π

Imagine que a solução é válida para k + 1 voltas no ciclo trigonométrico, ou seja, no intervalo que vai de 0 a 2(k + 1)π. Então, a solução da equação seno será:

senx = senα

x = α +2kπ ou x = π – α + 2kπ

Essa ideia de voltas é idêntica para a equação cosseno. Já na equação tangente, uma ideia análoga é aplicada, mas no intervalo ]– π/2, π/2[.