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Estudo da variação do sinal de uma função do 2° grau

O sinal de uma função do 2° grau é definido a partir do valor do delta da função.

Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax2 + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:

x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a                        

Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais.

Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.

Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.

Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x2 for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.

Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.

1°) ? < 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.

Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x

2°) ? = 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.

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Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto

3°) ? > 0

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.

Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos

Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:

1) f(x) = x2 – 1

= b2 – 4 . a . c
= 02 – 4 . 1 . (– 1)
= 4
?
x1 = 1; x2 = – 1

A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1
A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1

Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que toca o eixo x nos pontos 
– 1 1.

f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1
f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1
?
f(x) < 0 para 1 < x < 1

2) f(x) = – x2 + 2x 1

= b2 – 4 . a . c
= 22 – 4 . (– 1) . (– 1)
= 4 – 4 = 0
?
x1 = x2 = – 1

A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1
A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1

 

Essa é uma parábola com concavidade para baixo e
que toca o eixo x no ponto – 1.

f(x) = 0 para x = – 1
f(x) < 0 para x ≠ – 1

3) f(x) = x2 – 2x + 3

? = b2 – 4 . a . c
? = (–2)2 – 4 . 1 . 3
? = 4 – 12 = – 8
?
Não existe raiz real.

A parábola não toca o eixo x
A parábola não toca o eixo x

Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que não toca o eixo x.

f(x) > 0 para todo x real

 
Aprenda a determinar o sinal de uma função quadrática

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Por: Amanda Gonçalves Ribeiro