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Fração Geratriz

Todo número racional pode ser escrito na forma de fração. Para escrever dízimas periódicas dessa forma, deve-se procurar sua fração geratriz.

Os números, como nós os conhecemos, podem ser divididos em conjuntos numéricos. Esses conjuntos foram criados para agrupar os números de acordo com o tempo cronológico em que passaram a ser usados. Alguns conjuntos numéricos são:

1- Números Naturais (N): Todos os números inteiros positivos e o zero. Em outras palavras: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.

2- Números Inteiros (Z): Todos os números inteiros, positivos ou negativos, e o zero. Em outras palavras: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

3- Números Racionais (Q): Todos os números que podem ser escritos na forma de fração onde numerador e denominador sejam números inteiros. Isto é, A é um número racional se A = b com b e c sendo números inteiros.                      c

Esse último conjunto, dos números racionais, contempla:

i- Todos os números inteiros;

ii- Todos os números decimais finitos, também conhecidos como decimais exatos e

iii- Dízimas periódicas, que são decimais infinitos onde sua parte decimal se repete em ciclos.

Exemplo: 3,33333333…

A questão é que todos esses podem ser escritos em forma de fração, inclusive as dízimas periódicas. Essa dízima periódica do exemplo é o resultado da divisão de 10 por 3:

10 |3      
-9 
3,3…
10       
-9       
10    

Mas o caminho inverso, de transformar uma dízima periódica em fração, nem sempre é tão óbvio. Segue, portanto, uma técnica para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. Lembrando que Fração Geratriz é a fração que gera uma dízima periódica.

Para encontrar a fração geratriz da dízima periódica 3,333… igualaremos ela a x e faremos o seguinte:

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I - x = 3,3333…

10 · x = 10 · 3,3333...

II - 10x = 33,3333…

Agora, basta subtrair a equação I da equação II:

10x – x = 33,333… - 3,33333…

9x = 30

x = 30
      9

x = 10
      3

O número 10 foi escolhido para essa multiplicação, pois a parte decimal dessa dízima periódica possui um único algarismo se repetindo. Em outras palavras, essa dízima periódica é de período 3. Observe o que aconteceria ao buscar a fração geratriz de 1,32323232…

O período dessa dízima é 32. Como são 2 algarismos se repetindo, multiplicaremos a equação seguinte por 100:

I - x = 1,323232…

100 · x = 100 · 1,323232…

II - 100x = 132,323232…

Subtraindo I de II:

100x – x = 132,323232… - 1,32323232…

99x = 131

x = 131
      99

Essa é a fração geratriz de 1,3232…

Portanto, o número utilizado para multiplicar a dízima periódica, a fim de encontrar sua fração geratriz, será uma potência de 10 com expoente igual ao número de algarismos do período da dízima periódica.

Repare que o período de 3,33… possui um único algarismo, ou seja, 101 = 10, que foi o número multiplicado no primeiro exemplo.

O período de 1,3232… possui dois algarismos no período, ou seja, 102 = 100, que foi o número utilizado para multiplicação no segundo exemplo.



Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto:

Números racionais representados por frações

Números racionais representados por frações

Por: Luiz Paulo Moreira Silva