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Polígonos convexos

Polígonos convexos são figuras geométricas sem reentrâncias e, por isso, não apresentam seus vértices voltados para o seu interior.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva Planificações de sólidos geométricos cujas faces são polígonos convexos, figuras que não possuem reentrâncias

Planificações de sólidos geométricos cujas faces são polígonos convexos, figuras que não possuem reentrâncias

Um polígono é considerado convexo quando não possui reentrâncias, ou seja, quando nenhum de seus vértices aponta para o interior dessa figura. Na imagem a seguir, por exemplo, o polígono ABCDE não apresenta nenhuma reentrância. Diferentemente, o polígono FGHIJ possui reentrância no vértice H.

O polígono ABCDE é chamado convexo, e o polígono FGHIJ é denominado não convexo.

Definição formal

Embora possa ser usada para reconhecer polígonos convexos, a definição acima não é formalmente usada na Geometria. A definição de polígonos convexos, portanto, é:

Se em um dado polígono c com dois pontos quaisquer A e B dentro dele, não existir nenhuma posição em que pelo menos um dos pontos do segmento AB não pertença à parte interna do polígono c, então, esse polígono é convexo.

Em outras palavras, qualquer segmento cujas extremidades são pontos interiores de um polígono convexo tem que estar totalmente inserido nesse polígono também.

A imagem abaixo mostra um exemplo de segmento AB, à esquerda, dentro de um polígono convexo. À direita, existe uma possibilidade de escolher a posição do segmento AB que faz com que uma parte dele não esteja dentro do polígono. Nesse caso, esse não é um polígono convexo.

Elementos de um polígono convexo

Os elementos de um polígono convexo são:

1 – Lados: são os segmentos de reta que limitam o polígono. No exemplo a seguir, o segmento AB é um lado.

2 – Vértices: são os pontos de encontro entre dois lados. São representados na seguinte imagem por letras maiúsculas.

3 – Diagonais: são os segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono convexo, como o segmento AD na figura a seguir.

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4 – Ângulos internos: cada ângulo entre dois lados consecutivos de um polígono voltado para seu interior é um ângulo interno. Como exemplo, temos o ângulo EDC na figura a seguir.

5 – Ângulos externos: cada ângulo entre um lado e o prolongamento do lado consecutivo a ele no exterior do polígono é um ângulo externo. O ângulo CDK, presente na figura a seguir, é um exemplo de ângulo externo.

Propriedades de um polígono convexo

1ª – Em um polígono convexo, o número de lados é sempre igual ao número de ângulos internos e vértices.

2ª – É possível encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo usando a seguinte fórmula:

S = (n – 2)180

Na qual S é a soma dos ângulos internos do polígono e n é o número de lados que ele possui.

3ª – Todo polígono apresenta a soma de seus ângulos externos igual a 360°.

4ª – O número de diagonais que um polígono convexo possui é obtido pela seguinte fórmula:

d = n(n – 3)
     2

Em que d é o número de diagonais do polígono e n é o seu número de lados.

Exemplo: Dado um hexágono convexo, calcule:

a) A soma de seus ângulos internos.

S = (n – 2)180

S = (6 – 2)180

S = (4)180

S = 720°

b) O número de diagonais desse hexágono.

d = n(n – 3)
      2

d = 6(6 – 3)
     2

d = 6(3)
      2

d = 18
      2

d = 9 diagonais.


 


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