Ponto de intersecção entre duas retas concorrentes

Este texto mostrará como encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas concorrentes.

Ponto B de intersecção entre duas retas
Ponto B de intersecção entre duas retas

Existem três posições relativas entre duas retas que se encontram no mesmo plano: as retas podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes. Quaisquer retas que se encontrem em apenas um ponto serão chamadas concorrentes e existem algumas formas de encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre elas.

As retas paralelas, por sua vez, são aquelas que, em toda a sua extensão, não possuem um ponto sequer em comum. Geometricamente, o que se vê são linhas lado a lado.

Finalmente, as retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. É impossível que, possuindo dois pontos em comum, duas retas não compartilhem todos os seus pontos. Portanto, geometricamente, o que se vê ao olhar duas retas coincidentes é apenas uma reta.

Para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção de duas retas concorrentes, será necessário encontrar primeiro as equações dessas duas retas. Após isso, será mais fácil utilizar essas equações em sua forma reduzida.

Tomaremos como exemplo as retas presentes na imagem seguinte:

Para descobrir as coordenadas do ponto B, que é o ponto de intersecção entre duas retas concorrentes, utilizaremos a seguinte estratégia:

1 – Tomamos as equações das duas retas e escrevemo-las da forma reduzida.

–x + y = 0
y = x + 0
y = x

–x – y = –2
–y = –2 + x
y = 2 – x

2 – Como as duas equações encontradas são iguais a y, então as duas equações podem ser igualadas. Esse procedimento dará o valor da coordenada x do ponto B.

x = 2 – x

x + x = 2

2x = 2

x = 2
     2

x = 1

3 – Para encontrar o valor da coordenada y do ponto B, basta substituir o valor encontrado para x em uma das duas equações reduzidas da reta.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

y = 2 – x

y = 2 – 1

y = 1

Portando, as coordenadas do ponto B são: x = 1 e y = 1 e escrevemos B = (1,1) ou B (1,1).

Portanto, para encontrar as coordenadas do ponto de intersecção entre duas retas, devemos resolver o sistema de equações construído a partir das equações dessas duas retas. As imagens não são necessárias para solução de problemas como esse. Elas são indispensáveis para determinar as equações das retas e auxiliam na verificação dos resultados. Contudo, observe que o próximo exemplo foi resolvido sem o uso de qualquer imagem.

Exemplo 2 – Qual a localização do ponto B, que é a intersecção entre as retas –2x + y = 0 e –x – 2y = – 10?

Para resolver, lembre-se: basta montar um sistema de equações utilizando as equações das retas coincidentes:

–2x + y = 0
–x – 2y = – 10

y = 0 + 2x
– 2y = – 10 + x

y = 2x
2y = 10 – x

Agora, é necessário igualar as variáveis. Multiplicaremos a primeira equação por 2.

(2)y = (2)2x
2y = 10 – x

2y = 4x
2y = 10 – x

Agora, sim, estamos aptos a igualar as equações:

2y = 2y, portanto:

4x = 10 – x

4x + x = 10

5x = 10

x = 5

Como no exemplo 1, usaremos a primeira equação do sistema para descobrir o valor de y:

y = 2x

y = 2·5

y = 10

Dessa forma, as coordenadas do ponto B são: x = 5 e y = 10 e escrevemos B = (5,10) ou B (5,10).


 

Videoaula relacionada:

Por: Luiz Paulo Moreira Silva

Artigos relacionados

Equação Geral da Reta no Plano

Determinando a equação geral de uma reta.

Equação geral da reta

Aprenda a encontrar a equação da reta. Conheça a diferença entre a equação geral e a equação reduzida da reta. Encontre também a equação de um segmento de reta.

Equações paramétricas da reta

Outra forma de representar a reta através de uma equação

Posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Reta tangente, reta secante e reta externa

Projeções ortogonais

Clique para aprender o que são projeções ortogonais, os resultados das projeções de algumas figuras e o modo como esse conteúdo é cobrado no Enem.

Retas

Clique para aprender o que são retas e algumas de suas propriedades e classificações básicas!

Ângulos opostos pelo vértice

Clique e aprenda o que são ângulos opostos pelo vértice e descubra também quais são as suas propriedades e o que são ângulos adjacentes.