Alunos Online


Potências de i

As potências de i variam (entre 1, i, - 1 e - i), de modo que o resultado se repete a cada quatro potências. Por isso, qualquer potência de i pode ser simplificada para i0, i1, i2 ou i3.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva Potências do número complexo i, definido como raiz de um número negativo

Potências do número complexo i, definido como raiz de um número negativo

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números z tais que z = a + bi, sendo a e b números reais e i = √(– 1). Nessa definição, o termo “a” é chamado de parte real do número complexo z, e o termo “bi” é parte imaginária. É também por conta dessa definição que existe um padrão nos resultados das potências que envolvem apenas “i”, as quais serão discutidas neste artigo. Conhecer os resultados dessas potências é indispensável para conseguir lidar bem com todas as operações matemáticas que também são definidas para esse conjunto.

Potências de i

Para calcular as potências de i, é importante saber que o quadrado da raiz quadrada de n é o próprio n. Como i é uma raiz quadrada, às vezes será possível simplificar o resultado fazendo:

ii = √(– 1)√(– 1) = √(– 1)2 = – 1

Além disso, também é necessário conhecer algumas propriedades de potência para encontrar as potências de i. Essas potências são:

i0 = 1

i1 = i

12 = – 1

i3 = i2·i = – 1·i = – i

i4 = i2· i2 = (– 1)·(– 1) = 1

i5 = i4·i = 1·i = i

i6 = i4·i2 = 1·(– 1) = – 1

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

i7 = i6·i = (– 1)·i = – i

i8 = i6·i2 = (– 1)·(– 1) = 1

i9 = i8·i = 1·i = i

i10 = i8·i2 = 1·(– 1) = – 1

i11 = i10·i = (– 1)i = – i

i12 = i10·i2 = (– 1)·(– 1) = 1

Os motivos dos dois primeiros resultados evidenciados acima são as propriedades de potência. Lembre-se de que todo número elevado a zero tem 1 como resultado, e todo número elevado a 1 tem ele mesmo como resultado.

Além disso, perceba que os resultados possíveis para as potências de i são:

1, i, - 1 e - i

Calculando potências de i

A cada quatro potências, os valores de in variam entre 1, i, - 1 e - i, nessa ordem. Observe que i0 = i4 = i8 … O mesmo vale para as outras potências, que sempre serão iguais a alguma das potências de i a seguir:

i0, i1, i2 ou i3

Assim, para encontrar o valor de alguma potência de i, basta dividir seu expoente por 4. Ela terá o mesmo resultado que i elevado ao resto da divisão. Por exemplo: i130.

  130 |
 – 12
  32
     10   
 – 8
     2    

Logo, i130 = i2 = - 1