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Relação de Euler

A Relação de Euler estabelece uma correspondência entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro.

O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) encontrou uma relação entre os vértices, arestas e faces de qualquer poliedro convexo. Vamos então relembrar algumas definições:

  • Poliedro: são sólidos formados pelo encontro de planos;

  • Poliedro convexo: um poliedro é dito convexo se suas faces não formam nenhuma “cavidade”. Exemplo de um poliedro não convexo:

Esse poliedro apresenta uma “concavidade” que o caracteriza como um poliedro não convexo
Esse poliedro apresenta uma “concavidade” que o caracteriza como um poliedro não convexo

  • Vértice: é formado pelo encontro de duas retas (arestas);

  • Arestas: é a reta formada pelo encontro de duas faces;

  • Face: é cada região plana do poliedro, delimitada por arestas.

No paralelepípedo a seguir, vamos identificar o número de faces, arestas e vértices:

O paralelogramo possui 6 faces, 8 vértices e 12 arestas
O paralelogramo possui 6 faces, 8 vértices e 12 arestas

No paralelogramo, há 6 “lados” retangulares que representam as faces, assim como a face rosa já contabilizada. Os 12 segmentos de reta pretos representam as arestas, e os 8 pontos vermelhos representam os vértices.

Vejamos o que acontece com um prisma de base pentagonal:

O prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas
O prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas

O prisma de base pentagonal possui 7 faces, 10 vértices e 15 arestas. Se você observar bem, nesses dois exemplos há uma relação entre o número de vértices e faces e o número de arestas. Vejamos:

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Paralelogramo → 8 V e 6 F ←→ 12 A

Prisma de Base Pentagonal → 10 V e 7 F ←→ 15 A

Some os números de vértices e faces e compare-os com o número de arestas. Você verá que a soma será duas unidades maior que o número de arestas. Se generalizarmos essa ideia, teremos:

V + F = A + 2

Essa equação representa a Relação de Euler. Verifiquemos se ela é válida para outros poliedros:

Seja um poliedro com 4 vértices e 4 faces, qual sua quantidade de arestas?

A pirâmide de base triangular possui 4 faces, 4 vértices e 6 arestas
A pirâmide de base triangular possui 4 faces, 4 vértices e 6 arestas

  • V + F = A + 2

  • 4 + 4 = A + 2

  • A + 2 = 8

  • A = 8 – 2

    A = 6 arestas

Tome um poliedro com 6 vértices e 9 arestas, qual seu número de faces?

O prisma de base triangular possui 5 faces, 6 vértices e 9 arestas
O prisma de base triangular possui 5 faces, 6 vértices e 9 arestas

V + F = A + 2

6 + F = 9 + 2

6 + F = 11

F = 11 – 6

F = 5 faces

*Créditos da imagem: Shutterstock e William Perugini


 

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma pirâmide de base triangular*

O Museu do Louvre em Paris tem a forma de uma pirâmide de base triangular*

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro