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Semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos: um método matemático que garante que dois triângulos são semelhantes sem medir todos os seus lados e ângulos.

Duas figuras são semelhantes quando possuem exatamente o mesmo formato, mas tamanhos diferentes. Quando essas figuras são geométricas, em especial, no caso dos polígonos, é possível fazer essa comparação com exatidão. Dois polígonos são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes congruentes e seus lados correspondentes são proporcionais. Essa regra também vale para os triângulos, uma vez que eles também são polígonos.

Contudo, para descobrir se dois triângulos são semelhantes, não é necessário comparar todos os seus ângulos e todas as razões entre seus lados. Para facilitar esse trabalho, existem casos em que, verificando apenas uma parte dos ângulos ou uma parte dos lados, é possível garantir a semelhança entre os triângulos. São eles:

Caso Ângulo – Ângulo (AA)

Se dois ângulos de um triângulo forem congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então esses triângulos serão semelhantes.

Dois triângulos que possuem dois ângulos congruentes
Dois triângulos que possuem dois ângulos congruentes

Os dois triângulos acima possuem todos os ângulos correspondentes congruentes. Além disso, a razão entre seus lados (também correspondentes) é sempre 2. Logo, esses triângulos são semelhantes. Pelo caso AA, observando apenas os ângulos da base, já é possível garantir a semelhança.

Caso Lado – Lado – Lado

Se em dois triângulos existe proporcionalidade entre lados correspondentes, então esses dois triângulos são semelhantes.

Dois triângulos que possuem lados correspondentes proporcionais
Dois triângulos que possuem lados correspondentes proporcionais

Observe que os triângulos acima possuem lados correspondentes proporcionais. A razão entre os lados proporcionais, dividindo os lados do segundo triângulo pelos lados do primeiro, é sempre 2. Esse fato garante que os dois triângulos são semelhantes.

Caso Lado – Ângulo – Lado

Se dois triângulos possuem dois lados proporcionais e um ângulo congruente entre esses dois lados, então esses triângulos são semelhantes.

Triângulos que possuem dois lados proporcionais e um ângulo congruente
Triângulos que possuem dois lados proporcionais e um ângulo congruente

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Observe que esse é justamente o caso dos triângulos acima. Dessa maneira, não é necessário medir os outros ângulos e o outro lado, uma vez que o terceiro caso de semelhança de triângulos já garante que esses dois triângulos são semelhantes.

Para observar os casos de semelhança entre dois triângulos, é necessário ter em mente os conceitos de ângulos e lados correspondentes, além do conceito de proporcionalidade.

Ângulos e lados correspondentes

Observando dois triângulos quaisquer, é possível construir uma correspondência entre seus lados e entre seus ângulos. Escolhemos qual ângulo do primeiro triângulo é correspondente ao ângulo do segundo e as outras duas correspondências são obtidas como consequência. Observe a imagem a seguir:

Dois triângulos com lados e ângulos correspondentes
Dois triângulos com lados e ângulos correspondentes

Esses triângulos são congruentes, contudo, o segundo triângulo sofreu algumas rotações em relação ao primeiro. Para descobrir quais lados possuem as mesmas medidas, basta procurar os lados correspondentes entre os dois: c = f, a = d e b = e.

Esse conceito é exatamente igual para os ângulos de dois triângulos.

Não é necessário que os dois triângulos sejam congruentes para haver correspondência. É possível pensar na razão entre o menor lado do primeiro e o menor lado do segundo. Dessa maneira, estamos construindo uma correspondência entre os lados baseada na razão entre eles.

Proporcionalidade

Razão é o resultado da divisão entre dois números. Quando duas razões são iguais, dizemos que os números que foram divididos são proporcionais:

A = B
C    D

Essa igualdade pode ser observada também por meio de multiplicações. Para tanto, basta lembrar que “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” e escrever:

D·A = B·C


 

Aproveite para conferir nossa videoaula relacionada ao assunto:

A semelhança de triângulos garante a semelhança sem tomar todas as medidas

A semelhança de triângulos garante a semelhança sem tomar todas as medidas

Por: Luiz Paulo Moreira Silva