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Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau

Sem que seja necessário resolver uma equação do 2° grau, é possível encontrarmos o resultado da soma e produto das raízes da equação.

Por: Amanda Gonçalves Ribeiro Aprenda a utilizar as relações de soma e produto entre raízes de uma equação do 2° grau

Aprenda a utilizar as relações de soma e produto entre raízes de uma equação do 2° grau

No estudo de álgebra, lidamos muito com equações, tanto do 1° quanto do 2° grau. Em geral, uma equação do 2° grau pode ser escrita da seguinte forma:

ax2 + bx + c = 0

Os coeficientes da equação do 2° grau são a, b e c. Essa equação recebe esse nome porque a incógnita x está elevada à segunda potência ou ao quadrado. Para resolvê-la, o método mais comum é a utilização da Fórmula de Bhaskara. Esta garante que o resultado de qualquer equação do 2° grau pode ser obtido através da fórmula:

x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a                       

Através dessa fórmula, obtemos duas raízes, uma delas é obtida utilizando o sinal positivo antes da raiz quadrada de delta e outra utilizando o sinal negativo. Podemos então representar as raízes da equação do 2° grau como x1 e x2 da seguinte forma:

x1 = – b + ?
        2.a

x2 = – b – ?
        
2.a

Vamos tentar estabelecer relações entre a soma e produto dessas raízes. A primeira delas pode ser obtida pela soma. Teremos, então:

x1 + x2 = – b + ? + (– b – ?)
                         2.a            2.a          

x1 + x2 = – b + ? – b – ?
             2.a

Como as raízes quadradas de delta possuem sinais opostos, elas anular-se-ão, restando apenas:

x1 + x2 = – 2.b
              2.a

Simplificando a fração resultante por dois:

x1 + x2 = – b
              a

Portanto, para qualquer equação do 2° grau, se somarmos suas raízes, obteremos a razão b/a. Vejamos uma segunda relação que pode ser obtida pela multiplicação das raízes x1 e x2:

x1 . x2 = – b + ? . – b – ?
              2.a          2.a

x1 . x2 = (– b + ?).(– b – ?)
             4.a2

Aplicando a propriedade distributiva para fazer a multiplicação entre os parênteses, obtemos:

x1 . x2 = b2 + b.? – b.? -- (?)2
                   
4.a2

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Como os termos b.? possuem sinais opostos, eles anulam-se. Também calculando (?)2 , temos que (?)2 = ?.? = ?. Lembrando ainda que ? = b2 – 4.a.c. Portanto:

x1 . x2 = b2 – ?
             
4.a2

x1 . x2 = b2 – (b2 – 4.a.c)
                4.a2

x1 . x2 = b2 – b2 + 4.a.c
               4.a2

x1 . x2 = 4.a.c
             4.a2

Considerando que a2 = a.a, podemos simplificar a fração, dividindo o numerador e o denominador por 4.a, obtendo:

x1 . x2 =   c  
             a

Essa é a segunda relação que podemos estabelecer entre as raízes de uma equação do 2° grau. Ao multiplicar as raízes, encontramos a razão c/a. Essas relações de soma e produto das raízes podem ser empregadas mesmo que estejamos trabalhando com uma equação do 2° grau incompleta.

Agora que conhecemos as relações que podem ser obtidas através da soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau, vamos resolver dois exemplos:

  1. Sem resolver a equação x2 + 5x + 6 = 0, determine:

    a) A soma de suas raízes:

x1 + x2 = – b
               a

x1 + x2 = – 5
               1

x1 + x2 = – 5

b) O produto de suas raízes:

x1 . x2 =   c  
             a

x1 . x2 =    6   
            1

x1 . x2 = 6

  1. Determine o valos de k para que a equação tenha duas raízes x2 + (k – 1).x – 2 = 0, cuja soma seja igual a – 1.

    A soma de suas raízes é dada pela seguinte razão:

x1 + x2 = – b
              a

x1 + x2 = – (k – 1)
               1

Mas nós temos definido que a soma das raízes é – 1

1 = – (k – 1)
       
1

k + 1 = – 1
k = – 1 – 1
(--1). – k = – 2 .(--1)
?
k = 2

Portanto, para que a soma das raízes dessa equação seja – 1, o valor de k deve ser 2.