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Subconjuntos dos números naturais

Os subconjuntos dos números naturais são conjuntos numéricos que reúnem elementos com alguma característica em comum, além de “ser inteiro não negativo”.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva Números naturais reunidos em um subconjunto para mostrar as horas e os minutos

Números naturais reunidos em um subconjunto para mostrar as horas e os minutos

Enquanto um conjunto é uma reunião de elementos que possuem características e propriedades em comum, um subconjunto é a reunião de alguns dos elementos de um conjunto. Dessa maneira, o conjunto dos números naturais reúne elementos com as seguintes características: são inteiros e positivos (ou não negativos, dependendo do autor).

Como consideramos o zero como um número natural, o conjunto dos números naturais, portanto, é:

N = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Esse conjunto pode ser “dividido” em infinitos subconjuntos, já que possui infinitos elementos. Entretanto, alguns desses subconjuntos são notáveis pelas características e propriedades especiais de seus elementos.

Próprio conjunto dos números naturais

Todo conjunto é subconjunto de si mesmo. Assim, o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números naturais.

Conjunto vazio

Todo conjunto numérico possui o conjunto vazio como subconjunto. Esse conjunto é apenas a denominação de um subconjunto de números naturais que não possui nenhum elemento.

Conjunto dos números pares

O conjunto dos números naturais pares reúne os números não negativos múltiplos de dois. Assim sendo, ao conjunto dos números naturais pares (P) pertencem os seguintes elementos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …}

A forma geral desse subconjunto dos números naturais é a seguinte: (p) é um número par se:

p = 2·n

Nessa forma geral, (n) é um número natural. É possível, com essa forma, descobrir se um número é par. Por exemplo: 22 é um número par? Observe que, para ser par, 22 deve ser o resultado da multiplicação de algum número natural por dois:

22 = 2·n

Assim, se dividirmos 22 por dois e encontrarmos um número natural como resultado, significa que 22 é um número par; caso contrário, ele não é.

22:2 = 11

Conjunto dos números ímpares

O conjunto formado pelos números naturais ímpares (I) é o subconjunto dos naturais que contém todos os números que não são pares. Assim, esse conjunto é formado pelos seguintes elementos:

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I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

Também existe uma forma geral para os números ímpares. Se (i) é um número ímpar, então:

i = 2·n + 1

Na forma acima, (n) é um número natural. Dessa maneira, quando é necessário descobrir se um número é ímpar, basta dividi-lo por dois. Se o resultado deixar resto o algarismo um, então, o número é ímpar.

Além disso, um número só pode ser ímpar ou par. A união do subconjunto dos números naturais formado por todos os números ímpares com o subconjunto dos naturais formado por todos os números pares resulta no conjunto dos números naturais. Já a intersecção entre esses dois subconjuntos não possui nenhum elemento.

Números primos

É o subconjunto dos números naturais formado por todos os números que só são divisíveis por um ou por si mesmos. Por exemplo: o número sete não é divisível por qualquer outro número natural além de um e sete, portanto, ele é um número primo. Já o número quatro pode ser dividido por um, quatro e dois, por isso, ele não é um número primo.

O conjunto dos números primos é infinito e contém os seguintes elementos:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …}

Não é possível construir uma lei de formação para os números primos. Observe também que dois é o único número primo par, pois todo número par, exceto dois, é divisível por outros números, além de um e si mesmo.

Números compostos

É o subconjunto dos naturais formado por todos os números naturais que não são números primos, ou seja, que são divisíveis por outros números que não um e si mesmo.

Em outras palavras, os números compostos podem ser decompostos em um produto de números primos, como 693 = 3·3·7·11.

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