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Teorema das Áreas

Por: Gabriel Alessandro de Oliveira Geometria sendo utilizada no projeto de plantas da construção civil.

Geometria sendo utilizada no projeto de plantas da construção civil.

Ao estudarmos as relações trigonométricas e as leis dos senos e dos cossenos, podemos realizar uma generalização para o cálculo da área de um triângulo qualquer, possuindo apenas as medidas de dois lados e o ângulo compreendido entre eles. Neste artigo veremos duas demonstrações diferentes, entretanto este não será o foco. Leia o artigo e compreenda como ocorre a aplicação deste teorema.

Existem duas demonstrações acerca deste Teorema, uma utilizando um triângulo circunscrito e a outra com um triângulo qualquer, entretanto ambas utilizam as relações vistas no Teorema dos Senos (Lei dos Senos).
O teorema é enunciado da seguinte maneira:



Existem três possibilidades para um ângulo: obtuso, reto ou agudo. No triângulo a seguir veremos como encontrar o teorema das áreas, utilizando o ângulo agudo. Entretanto, você verificará que a expressão continuará respeitando a mesma lei, “medidas de dois lados e o ângulo entre estes dois lados”.



Sabemos que a área de um triângulo qualquer é dada da seguinte forma:



Temos que demonstrar uma das seguintes expressões (igualdades decorrentes do teorema das áreas).



Onde S também é o valor da área do triângulo.

Todas estas expressões são referentes ao cálculo da área de um triângulo qualquer: como você pode notar, em todas estas expressões nós temos o produto de dois lados pelo seno do ângulo formado por estes lados.

A utilização desta fórmula dependerá apenas de termos a medida de dois lados de um triângulo e o ângulo que estes dois lados formam.

Cálculo da área utilizando o ângulo Â.
Ao utilizarmos este ângulo, teremos que encontrar uma expressão que envolva as medidas b e c.


O triângulo ∆AHC é retângulo, logo podemos utilizar as propriedades deste tipo de triângulo.
Então,



Substituindo h, teremos,



Esta foi uma demonstração para apenas um tipo de ângulo (ângulo agudo), entretanto as outras ocorrem de forma bem parecida, por isso não vamos prolongar esta demonstração.

Para um triângulo circunscrito temos que a lei dos senos pode ser escrita da seguinte forma.
 

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Ou ainda



A área de um triângulo circunscrito é dada pela seguinte expressão:



Se substituirmos o valor de c na expressão da área, teremos:




Ou ainda, se substituirmos o valor de b, teremos:
 


Assim como o valor de a:



Sendo assim, vimos que qualquer que seja o triângulo, e este estando ou não circunscrito, o Teorema das Áreas do triângulo é válido.

Para que possamos utilizar este Teorema em alguma situação que envolva o cálculo da área de um triângulo, deveremos ter a medida de dois lados e o ângulo que compreende esses dois lados do triângulo.