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Valor de pi

O valor de pi é obtido por aproximação e é dado por um número irracional, ou seja, um decimal não periódico com infinitas casas decimais.

Por: Luiz Paulo Moreira Silva Pi é um número irracional cuja aproximação mais comum é 3,14

Pi é um número irracional cuja aproximação mais comum é 3,14

Pi é um número irracional representado pela letra grega π. Isso significa que esse número é real e não é racional, ou seja, não existe maneira de representá-lo na forma de fração. Em outras palavras, pi é um decimal infinito e não periódico, ou seja, os algarismos de pi, após a vírgula, não seguem nenhum padrão de formação.

O número pi foi obtido inicialmente pela necessidade de encontrar o comprimento de círculos. Os povos da antiguidade perceberam que, em todos os círculos, o resultado encontrado na divisão do perímetro pelo diâmetro é um número próximo da constante 3,1. Hoje sabemos que esse número tem infinitas casas decimais e as 20 primeiras são:

π = 3,14159 26535 8979323846…

Encontrando o valor de pi

Existem muitos métodos que podem ser usados para encontrar o valor de pi. Sabemos que a primeira tentativa, usando um método mais bem elaborado, veio de Arquimedes. Sua ideia foi simples: calcular o perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos em um mesmo círculo com um número muito grande de lados.

Para compreender melhor o que foi feito por Arquimedes, observe um quadrado inscrito e um quadrado circunscrito em uma circunferência de raio r.

Seja p o perímetro do quadrado inscrito, P o perímetro do quadrado circunscrito e C o perímetro da circunferência podemos afirmar que:

p < C < P

Dividindo toda a desigualdade por 2r, temos:

 p C
2r     2r    2r 

Veja que C = 2πr, portanto, π = C/2r. Substituindo isso na desigualdade acima, temos:

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 p < π < 
2r           2r

Assim, podemos afirmar que o valor de pi está entre as medidas dos perímetros dos quadrados, ambos divididos por 2r.

Apenas olhando para a imagem, podemos notar que os perímetros dos quadrados não se aproximam muito do perímetro da circunferência. Isso significa que o cálculo do valor aproximado de pi não terá um resultado muito satisfatório. Quanto mais próximos forem os perímetros dos polígonos do perímetro da circunferência, mais próximo do valor verdadeiro será o resultado encontrado para o valor de pi.

Na figura a seguir, observe um octógono inscrito e um circunscrito em uma circunferência de raio r. Veja que os perímetros dessas figuras aproximam-se mais do perímetro da circunferência do que o ocorrido no exemplo anterior com os quadrados.

A ideia de Arquimedes foi aumentar o número de lados do polígono inscrito, observando que o circunscrito deve ter o mesmo número de lados, o máximo possível. Quanto mais lados tiver o polígono, maior será a proximidade de seu perímetro com o perímetro do círculo e menor será a diferença encontrada na desigualdade:

 p C
2r     2r    2r

Após construir polígonos de 96 lados, Arquimedes conseguiu a seguinte desigualdade:

 223  < π < 22
71             7

Isso faz com que o valor de pi esteja entre 3,140845 e 3,142857.

Outras aproximações que seguem esse mesmo método foram feitas ao longo da história, mas atualmente é muito mais fácil encontrar aproximações do valor de pi com o uso de calculadoras e computadores.

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